Dualidad
Introducción
Russell dijo que las matemáticas son la ciencia del infinito. Pero dada la pequeñez humana ante la inmensidad del Mundo I, se lo puede corregir y decir que las matemáticas son la ciencia de los números grandes.
Si el hombre es la medida de las cosas hay un número muy grande de parcelas del Mundo I donde los números muy grandes ocurren a su vez. ¡ Basta con mirar los granos de arena de una playa y preguntarse por su número, o por el número de ellos con los que se podría rellenar el Universo esférico de Aristarco de Samos como lo hizo Arquímedes!
Extracto del Arenario de Arquímedes
Existen algunos, Rey Gelón, que creen que el número de granos de arena es infinito en multitud; y cuando me refiero a la arena me refiero no sólo a la que existe en Siracusa y el resto de Sicilia sino también la que se puede encontrar en cualquier región, ya sea habitada o deshabitada. Una vez más, hay algunos que, sin considerarlo como infinito, creen que ningún número ha sido nombrado que sea lo suficientemente grande como para superar tal magnitud. Y, está claro que, los que sostienen esta opinión, si se imaginaron una masa formada por arena tan grande como la masa de la Tierra, incluyendo todos los mares y los huecos de la Tierra hasta llenarlos a una altura igual a la de la más alta de las montañas, sería ir mucho más lejos aún del reconocimiento de que cualquier número que pueda expresarlo fue superado por la multitud de arena para tomar. Pero voy a tratar de mostrar, por medio de demostraciones geométricas que usted será capaz de seguir que, de los números nombrados por mí y, teniendo en cuenta el trabajo que he enviado a Zeuxipo, algunos superan no sólo el número de la masa de arena de igual magnitud que la Tierra llenada en la manera descrita, sino también la de la masa de igual magnitud que la del Universo.
Arquímedes (Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli)
Infinitos números
Entre los números naturales 1,2,4,... no puede haber uno más grande. Decimos que son en potencia jnfinitos. Que exista realmente es naturalmente (nunca mejor dicho) un acto de fé. Podemos pues tenerlo como un axioma. Así visto el infinito número de números naturales que aceptamos existen es una idea del Mundo III. ¿Existe una colección de cosas del Mundo I con un número infinito de cosas? Podemos, por ahora, dejarlo sin respuesta. Aunque podemos reconocer, más por razones estéticas, que suponerlo podría servir para establecer un especie de isomorfismo entre los Mundos I y III. Así estos mundos no serían más que modos en los que la naturaleza o sea Dios se manifiesta. La única sustancia en la epistemología spinozista.
Así el Dios de Spinoza o sea La naturaleza sería La Matemática.
Por infinito actual la matemática es metafísica sin ningún tipo de paliativo. Está es la posición mayoritaria hoy en día y podemos llamarla formalista o idealista. Hilbert fue su principal guerrero: ¡Nadie nos sacará del Paraíso de Cantor! Y Cantor es su Moisés.
Para los otros, los intuicionistas, sólo existe el infinito potencial. Dios hizo los números enteros; y el resto es obra del hombre. Es justo recordar que entre los guerreros intuicionistas hubo muchos ilustres matemáticos como Kroenecler, Gauss, Poincaré y Weyl (el querido alumno renegado de Hilbert ). Pero sin lugar a dudas, el general de las huestes intuicionistas fue Brouwer.
Y si nos vamos atrás en el tiempo cercano, Kant estaría con Brouwer y Leibnitz con Hilbert.
Monster group is the largest sporadic simple group. Its order is roughly 8x10^53
Through the later half of twentieth century, mathematicians classified all finite simple groups. (A simple group is a group with only two normal subgroups: the trivial group and the group itself). These groups were divided into 18 infinite families:
- Cyclic groups of prime order
- Alternating groups of order greater than 4
- 16 families of groups of Lie type
and 26 other groups that did not fit into any of these categories. These 26 groups are called 'sporadic groups' and Monster group happens to be the largest among them.
El grupo monstruoso
Infinitos números primos
Los números como 6 se pueden escribir como el producto de 1 por 6 y de 2 por 3. Pero 7 sólo se puede escribir como 1 por 7. Los números como 6 se llaman compuestos y los números como 7 se llaman primos. Los primos son los ladrillos básicos de los que todos los demas numeros estan hecho. Tomando un número como 60 podemos buscar sus divisores primos estudiando el resto de la división de 60 por los primeros números primos : 2,3,5,7. Tenemos así que 2 divide a 60 y su cociente es 30; dos divide a 30 y su cociente es 15; 3 divide a 15 y su cociente es 5; y 5 divide 5 y su cociente es 1 . Llegado a 1 nos devolvemos y 15 es 5 por 3, y 30 es 5 por 3 por 2, y, por último, 60 es 5 por 3 por 2 por 2. Resumiendo. 60=2x2x3x5.
No es difícil reconocer que cada ser humano que entienda lo que acabo de hacer lo puede hacer con cualquier número entero. Para números grandes no tendrá tiempo, pero intuicionistas y formalistas están de acuerdo en reconocer y usar esa capacidad para el análisis logico.
Euclides consignó para la posteridad en sus Elementos ( la obra fundacional de las matemáticas) el siguiente prueba:
Existen infinitos números primos
Si 2,3,5,..,p es la lista de los primeros primos hasta p, el número q=2x3x5x...xp+1 es compuesto o es primo. Si es primo la lista de primos es uno más grande. Y si es compuesto, ninguno de sus factores puede ser los de la lista dada al principio porque el resto de la division de q por uno de ellos es 1, es decir, hay primos que no están en la lista.
La matemática como metafísica
El infinito es un concepto claramente metafísico. No existe un colección concreta infinita. Suponer su existencia puede simplificar nuestras ideas sobre le Mundo III.
Ya lo dijimos arriba : la matemática