El infinito
Publicado en septiembre 7, 2015
“Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros”.
D. Hilbert.
“There is no actual infinity, the Cantorians have forgotten that, and they have fallen into contradiction. It is true that Cantorism rendered services, but that was when it was applied to a real problem whose terms were clearly defined, and we could walk safely. Logisticians as Cantorians have forgotten”.
H. Poincaré.
En The foundations of science: science and hypothesis; the value of science; science and method, translated by GB Halsted (1913)
A finales del Siglo XIX un cambio profundo sucedió en las matemáticas. El estatus del infinito cambió radicalmente. Se admitió la existencia de conjuntos infinitos. El infinito potencial se realizó. El descubrimiento de las geometrías no euclidianas había desterrado de las verdades intuitivas puras las verdades de la geometría euclidiana. ¿Es, entonces, el número la única fuente sólida de verdades universales y necesarias? Para Gauss, si. Dios creó los naturales, el resto es obra de los hombres, escribió Kronecker.
Debemos admitir con humildad que, mientras el número es puramente un producto de nuestra mente, el espacio tiene una realidad fuera de nuestra mente, de modo que no podemos prescribir completamente sus propiedades a priori.
Gauss.
Con la publicación de las cartas de Gauss sobre geometría no euclidiana, el mundo matemático volvió sus ojos sobre las obras de dos matemáticos desconocidos: Bolyai y Lobatchevski. Según el propio Gauss, habían desarrollado sus propias ideas sobre la nueva geometría; el primero, siguiendo su propia vía y el segundo, de una manera genuinamente geométrica. Se aceleró así un programa de aritmetización imaginado por Lambert precisamente para resolver el problema de la Teoría de las Paralelas.
La aritmetización de la geometría es el resultado de las modernas investigaciones en geometría no euclidiana, que se focalizan sobre una construcción lógicamente rigurosa y sobre la más directa y completamente impecable introducción de números en geometría.
David Hilbert
Gauss inició este programa con sus Investigaciones Generales a cerca de las superficies curvas de 1827. La interpretación geométrica de los números complejos aritmetizan el plano, de manera análoga a como los números reales aritmetizan la recta. Cantor, Riemann y Dedekind jugaron un papel determinante en este proceso.
Cantor probó que hay muchos más irracionales que racionales, ¡un infinito más grande que otro infinito! Y abrió la caja de Pandora de las paradojas. Todo se resolvió con la adopción por la gran mayoría de los matemáticos de la Teoría de Conjuntos de Cantor y Riemann debidamente axiomatizada por Zermelo y Fraenkel. De este modo hoy cualquier escolar con 12 años de estudio identifica la recta con el conjunto de los números reales: P -> (x) ; el plano con el conjunto de parejas; P -> (x,y) de números reales; y al espacio con el conjunto de ternas de números reales: P -> (x,y,z). Y a cada figura del espacio se identifica con el conjunto de puntos P que la forman o con el conjunto numérico de las respectivas (x,y,z).
la teoría de números transfinitos es una enfermedad de la que algún día la matemática llegará a curarse.
H. Poincaré
Pero al aceptar los argumentos de Cantor se le entregó el alma al diablo. Si hay un infinito más grande que otro, hay muchos más: los números transfinitos. Henri Poincaré los aborreció, como Hermann Weyl.
L.E.J. Brower abanderó otra aritmetización intuitiva basada en el concepto de número natural y el principio de inducción matemática. Riemann a lo mejor como Gauss hubiesen estado del lado de esta solución.
Cantor y Dedekind construyeron el sistema de los números reales como un correlato numérico de una recta formada por puntos. En geometría, el infinito había sido hasta entonces potencial; y, desde Aristóteles hasta Riemann una recta no estaba formada de puntos; un punto ‘está’ sobre una recta o una recta ‘pasa’ por un punto.
Riemann acababa de demostrar que la geometría podía extenderse a variedades multidimensionales usando para ellos como correlato numérico un espacio numérico de igual número de dimensiones. Pero para Riemann, este espacio numérico era aún potencial en lo global. El espacio ordinario no sería más que un caso particular de una de estas variedades con un espacio numérico tridimensional como correlato. Pero el espacio ordinario infinitamente divisible e infinitamente extensible se percibe en su totalidad, el espacio de los matemáticos ha sido como el espacio absoluto de Newton. El paso crucial fue dado por Cantor y Dedekind, aunque Bolzano tenía ideas muy claras sobre el infinito actual [CH2008]. El paso consistió en considerar el espacio numérico en su totalidad, sin temor a la contradicción. Dedekind fue muy claro, el sistema de los números reales se puede construir axiomáticamente como el sistema del espacio euclidiano. El álgebra geométrica de segmentos ordenados conmensurables con su suma y multiplicación se refleja en el álgebra numérica de los números racionales. Dedekind de manera muy brillante usa su noción de cortadura para completar la totalidad de los números reales. De esta manera ‘domestica’ numéricamente el continuo. En la identificación, la recta coincide con el conjunto de los puntos por los que pasa. El infinito actual se incorpora en las matemáticas para nunca m´s volver a irse, a pesar de Siegel, Poincaré, Weyl, Kroenecker, Brouwer, y una larga lista de insignes matemáticos que tenían otras intuiciones.
La degeneración de las matemáticas comenzó con las ideas de Riemann, Dedekind y Cantor,que hicieron retroceder más y más el sólido espíritu de Euler, Lagrange y Gauss.
Siegel a Weyl (1959)
La matemática ‘degenerada’ de Siegel es la matemática moderna. La que surgió precisamente al extender las nuevas ideas a toda las matemáticas.
El poder de las nuevas ideas geométricas, del método conceptual de razonamiento y de la poderosa noción de variedad o conjunto fue demostrado en los trabajos de Riemann. En el estudio de los trabajos de sus maestros Gauss y Dirichlet, de los primeros trabajos filosóficos de Herbard [Riemanniana selecta] y de sus investigaciones físicas con Weber, Riemann encontró las fuentes de su inspiración . La idea de conjunto y las nociones topológicas fueron desarrolladas por Cantor en su Teoría de Conjuntos y su teoría de los números reales.
Hoy todavía sorprende que todo el ‘edificio’ de las matemáticas se pueda construir sobre la noción intuitiva de conjunto sin ninguna referencia al mundo material. La noción intuitiva de una línea continua, sin la que el análisis matemático y sus más variadas aplicaciones a la geometría y a la física no puede desarrollarse, se puede reconstruir impecablemente a partir de la noción de conjunto.
Hasta Cantor y Dedekind el infinito en matemáticas fue, como dijo Gauss, una manera de hablar. Cauchy con su definición épsilon- delta eliminó de un plumazo a los infinitos que se habían colado con Euler y cia, los magos en el ‘circo’ de las series. Riemann creía que el infinito era una intuición intratable a la que no se podía renunciar. Su gran y querido condiscípulo Dedekind definió el concepto de infinito positivamente: un conjunto es infinito si es equipotente con una parte propia. Galileo, más de doscientos años antes, advirtió que había tantos números naturales como números pares: ¡la parte propia no es más pequeña que el todo!
En geometría el infinito fue potencial y desde Aristóteles hasta Dedekind una recta no estaba formada de puntos, ni un plano formado de rectas; un punto ‘yace’ sobre una recta, una recta ‘yace’ sobre un plano. La aritmetización alcanza, pues, su punto de inflexión en la definición de Dedekind de los números reales.
En la cita de Poincaré encontramos lo difícil que resulta esto del infinito. ¿Qué era para Poincaré una recta? No parece ser la recta de Dedekind que hoy los escolares usan a partir de su curso de geometría analítica.
El descubrimiento ( o la creación) de infinitos más grandes que otros abrió paso a la idea de un infinito actual; el rechazo a la idea de una recta formada de puntos proviene de que un número infinito de puntos de longitud cero nunca podría generar un segmento de longitud diferente de cero. Pero la idea de que un infinito lo suficientemente grande de ellos si, se abrió paso. Con Lebesgue la cuestión se aclaró a costa de aceptar que el conjunto de los puntos racionales topológicamente denso tiene medida cero. Si esto le repugna, no se preocupe, usted seguramente pensará como los ilustres intuicionistas. En cierto sentido, el cardinal del conjunto de los números reales o lo que es lo mismo, el infinito de puntos que llenan una recta, es el Dios infinito de Spinoza
La geometría es un sistema que trata de puntos, rectas y planos que satisfacen ciertas propiedades (los axiomas); Dedekind considera que el conjunto de números reales (infinito y no numerable) es también un sistema que puede identificarse con la recta si concebimos a esta como un sistema de puntos. Gauss había allanado el camino para pensar los números complejos como parejas de números reales y , a su vez, como una representación del plano concebido como un sistema de puntos. Riemann había intuido sistemas de puntos multidimensionales como variedades de n-uplas de números reales a los que se podían extender las nociones geométricas. Todo ello probaba que la noción de sistema o variedad era una noción matemática fundamental. Es el nacimiento de la Teoría de Conjuntos, el ‘paraíso de Cantor’ del cual nunca más la matemática salió.